三角函數目錄
起源
同角三角函數間的基本關系式：
三角函數的誘導公式
正余弦定理
部分高等內容
三角函數的計算
三角函數定義域和值域
初等三角函數導數
反三角函數
反三角函數
[編輯本段]起源
歷史表明，重要數學概念對數學發展的作用是不可估量的，函數概念對數學發展的影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數概念的歷史發展，看一看函數概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領悟數學概念對數學發展，數學學習的巨大作用．
（一）
馬克思曾經認為，函數概念來源于代數學中不定方程的研究．由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究，所以函數概念至少在那時已經萌芽．
自哥白尼的天文學革命以后，運動就成了文藝復興時期科學家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自轉和公轉，那么下降的物體為什么不發生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題，既是科學家的力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數概念就是從運動的研究中引申出的一個數學概念，這是函數概念的力學來源．
（二）
早在函數概念尚未明確提出以前，數學家已經接觸并研究了不少具體的函數，比如對數函數、三角函數、雙曲函數等等．1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義．
1673年，萊布尼茲首次使用函數一詞表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量．由此可以看出，函數一詞最初的數學含義是相當廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞“流量”來表示變量間的關系，直到1689年，瑞士數學家約翰·貝努里才在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了明確定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數”，表示為yx.
當時，由于連接變數與常數的運算主要是算術運算、三角運算、指數運算和對數運算，所以后來歐拉就索性把用這些運算連接變數x和常數c而成的式子，取名為解析函數，還將它分成了“代數函數”與“超越函數”．
18世紀中葉，由于研究弦振動問題，達朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數”的說法．在解釋“任意的函數”概念的時候，達朗貝爾說是指“任意的解析式”，而歐拉則認為是“任意畫出的一條曲線”．現在看來這都是函數的表達方式，是函數概念的外延．
（三）
函數概念缺乏科學的定義，引起了理論與實踐的尖銳矛盾．例如，偏微分方程在工程技術中有廣泛應用，但由于沒有函數的科學定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年，高斯開始把注意力轉向物理學．他在和W·威伯爾合作發明電報的過程中，做了許多關于磁的實驗工作，提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論，使得函數作為數學的一個獨立分支而出現了，實際的需要促使人們對函數的定義進一步研究．
后來，人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量，當后一量變化時前一量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數．“這個定義雖然還沒有道出函數的本質，但卻把變化、運動注入到函數定義中去，是可喜的進步．”
在函數概念發展史上，法國數學家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數的本質，主張函數不必局限于解析表達式．1822年，他在名著《熱的解析理論》中說，“通常，函數表示相接的一組值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的……，我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規律；他們以任何方式一個挨一個．”在該書中，他用一個三角級數和的形式表達了一個由不連續的“線”所給出的函數．更確切地說就是，任意一個以2π為周期函數，在〔－π，π〕區間內，可以由
表示出，其中
富里埃的研究，從根本上動搖了舊的關于函數概念的傳統思想，在當時的數學界引起了很大的震動．原來，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數把解析式和曲線溝通了，那種視函數為解析式的觀點終于成為揭示函數關系的巨大障礙．
通過一場爭論，產生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數定義．
1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化．函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法．函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的．”這個定義建立了變量與函數之間的對應關系，是對函數概念的一個重大發展，因為“對應”是函數概念的一種本質屬性與核心部分．
1837年，德國數學家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，所以他的定義是：“如果對于x的每一值，y總有完全確定的值與之對應，則y是x的函數．”
根據這個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數（狄里克萊函數）：
f（x）= 1（x為有理數），
0（x為無理數）．
在這個函數中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區間里，f（x）無限止地忽0忽1．因此，它難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題．但是不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f（x）仍是一個函數．
狄里克萊的函數定義，出色地避免了以往函數定義中所有的關于依賴關系的描述，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受．至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義．
（四）
生產實踐和科學實驗的進一步發展，又引起函數概念新的尖銳矛盾，本世紀20年代，人類開始研究微觀物理現象．1930年量子力學問世了，在量子力學中需要用到一種新的函數——δ-函數，
即ρ（x）＝ 0，x≠0，
∞,x=0．
且
δ-函數的出現，引起了人們的激烈爭論．按照函數原來的定義，只允許數與數之間建立對應關系，而沒有把“∞”作為數．另外，對于自變量只有一個點不為零的函數，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的．然而，δ-函數確實是實際模型的抽象．例如，當汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產生壓力．從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點x=0處的壓強是
P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞．
其余點x≠0處，因無壓力，故無壓強，即P（x）=0.另外，我們知道壓強函數的積分等于壓力，即
函數概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發展，產生了新的現代函數定義：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f（x）.元素x稱為自變元，元素y稱為因變元．
函數的現代定義與經典定義從形式上看雖然只相差幾個字，但卻是概念上的重大發展，是數學發展道路上的重大轉折，近代的泛函分析可以作為這種轉折的標志，它研究的是一般集合上的函數關系．
函數概念的定義經過二百多年來的錘煉、變革，形成了函數的現代定義，應該說已經相當完善了．不過數學的發展是無止境的，函數現代定義的形式并不意味著函數概念發展的歷史終結，近二十年來，數學家們又把函數歸結為一種更廣泛的概念—“關系”．
設集合X、Y，我們定義X與Y的積集X×Y為
X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
積集X×Y中的一子集R稱為X與Y的一個關系，若（x,y）∈R，則稱x與y有關系R，記為xRy.若（x,y）R，則稱x與y無關系．
現設f是X與Y的關系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么稱f為X到Y的函數．在此定義中，已在形式上回避了“對應”的術語，全部使用集合論的語言了．
從以上函數概念發展的全過程中，我們體會到，聯系實際、聯系大量數學素材，研究、發掘、拓廣數學概念的內涵是何等重要．
三角函數是數學中屬于初等函數中的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復數系。
由于三角函數的周期性，它并不具有單值函數意義上的反函數。
三角函數在復數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數也是常用的工具。
基本初等內容
它有六種基本函數(初等基本表示)：
函數名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
在平面直角坐標系xOy中，從點O引出一條射線OP，設旋轉角為θ，設OP=r，P點的坐標為（x，y）有
正弦函數 sinθ=y/r
余弦函數 cosθ=x/r
正切函數 tanθ=y/x
余切函數 cotθ=x/y
正割函數 secθ=r/x
余割函數 cscθ=r/y
（斜邊為r，對邊為y，鄰邊為x。）
以及兩個不常用，已趨于被淘汰的函數：
正矢函數 versinθ =1-cosθ
余矢函數 coversθ =1-sinθ
正弦（sin）:角α的對邊比上斜邊
余弦（cos）:角α的鄰邊比上斜邊
正切（tan）:角α的對邊比上鄰邊
余切（cot）:角α的鄰邊比上對邊
正割（sec）:角α的斜邊比上鄰邊
余割（csc）:角α的斜邊比上對邊
[編輯本段]同角三角函數間的基本關系式：
·平方關系：
sin²(α)+cos²(α)=1 cos²(a)=(1+cos2a)/2
tan²(α)+1=sec²(α) sin²(a)=(1-cos2a)/2
cot²(α)+1=csc²(α)
·積的關系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒數關系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,
余弦等于角A的鄰邊比斜邊
正切等于對邊比鄰邊,
·三角函數恒等變形公式
·兩角和與差的三角函數：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函數：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·輔助角公式：
Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A²+B²)^(1/2)
cost=A/(A²+B²)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin³(α)
cos(3α)=4cos³(α)-3cosα
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降冪公式
sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·萬能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
·積化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·推導公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos²α
1-cos2α=2sin²α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
證明：
左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （積化和差）
=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊
等式得證
sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
證明:
左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊
等式得證
[編輯本段]三角函數的誘導公式
公式一：
設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α與 -α的三角函數值之間的關系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
[編輯本段]正余弦定理
正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．
余弦定理是指三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA
角A的對邊于斜邊的比叫做角A的正弦，記作sinA，即sinA=角A的對邊/斜邊
斜邊與鄰邊夾角a
sin=y/r
無論y>x或y≤x
無論a多大多小可以任意大小
正弦的最大值為1 最小值為-
[編輯本段]部分高等內容
·高等代數中三角函數的指數表示(由泰勒級數易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展開有無窮級數，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…
此時三角函數定義域已推廣至整個復數集。
·三角函數作為微分方程的解：
對于微分方程組 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可證明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發定義三角函數。
補充：由相應的指數表示我們可以定義一種類似的函數——雙曲函數，其擁有很多與三角函數的類似的性質，二者相映成趣。
特殊角的三角函數:
角度a 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180°
1.sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 0
2.cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -1
3.tana 0 √3/3 1 √3 無限大 -√3 0
4.cota / √3 1 √3/3 0 -√3/3 /
[編輯本段]三角函數的計算
冪級數
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它們的各項都是正整數冪的冪函數, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數, 這種級數稱為冪級數.
泰勒展開式(冪級數展開法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
實用冪級數：
ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...
ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|<1)
sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)
sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)
在解初等三角函數時，只需記住公式便可輕松作答，在競賽中，往往會用到與圖像結合的方法求三角函數值、三角函數不等式、面積等等。
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傅立葉級數(三角級數)
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx
三角函數的數值符號
正弦 第一，二象限為正， 第三，四象限為負
余弦 第一，四象限為正 第二，三象限為負
正切 第一，三象限為正 第二，四象限為負
[編輯本段]三角函數定義域和值域
sin(x),cos(x)的定義域為R,值域為〔-1,1〕
tan(x)的定義域為x不等于π/2+kπ,值域為R
cot(x)的定義域為x不等于kπ,值域為R
[編輯本段]初等三角函數導數
y=sinx---y'=cosx
y=cosx---y'=-sinx
y=tanx---y'=1/(cosx)² =(secx)²
y=cotx---y'=-1/(sinx)² =-(cscx)²
y=secx---y'=secxtanx
y=cscx---y'=-cscxcotx
y=arcsinx---y'=1/√1-x²
y=arccosx---y'=-1/√1-x²
y=arctanx---y'=1/(1+x²)
y=arccotx---y'=-1/(1+x²)
[編輯本段]反三角函數
三角函數的反函數，是多值函數。它們是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割為x的角。為限制反三角函數為單值函數，將反正弦函數的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，將y為反正弦函數的主值，記為y=arcsin x；相應地，反余弦函數y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函數y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函數y=arccot x的主值限在0<y<π。
反三角函數實際上并不能叫做函數，因為它并不滿足一個自變量對應一個函數值的要求，其圖像與其原函數關于函數y=x對稱。其概念首先由歐拉提出，并且首先使用了arc+函數名的形式表示反三角函數，而不是f-1(x).
反三角函數主要是三個：
y=arcsin(x)，定義域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，圖象用紅色線條；
y=arccos(x)，定義域[-1,1]，值域[0,π]，圖象用蘭色線條；
y=arctan(x)，定義域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，圖象用綠色線條；
sinarcsin(x)=x,定義域[-1,1],值域 【-π/2,π/2】
證明方法如下：設arcsin(x)=y,則sin(y)=x ,將這兩個式子代如上式即可得
其他幾個用類似方法可得。
滬公網安備31010802001143號
